泡泡图灵智库，带你精读机器人顶级会议文章
标题：Optimal least-squares solution to the hand-eye calibration problem
作者：Amit Dekel,Linus H renstam-Nielsen,Sergio Caccamo Univrses
来源：CVPR 2020
播音员：
编译：尹双双
审核：李永飞
欢迎个人转发朋友圈；其他机构或自媒体如需转载，后台留言申请授权
摘要
大家好，今天为大家带来的文章是——Optimal least-squares solution to the hand-eye calibration problem.
本文针对使用对偶四元数求解噪声下手眼校准问题提出了最小二乘公式，并基于问题的解析性质，引入了高效的算法来找到精确的最佳解，从而避免了非线性优化。我们还提出了简单的解析近似解，与精确解相比，该解提供了非常好的估计。此外，我们展示了针对代价函数中的给定先验知识如何使用我们的解决方案。据我们所知，我们的算法是解决手眼校准问题的最有效方法。
主要贡献
（1）本文利用对偶四元数表述最小化问题，其代价函数是二次函数，受非线性约束影响。我们的方法是将约束添加为两个拉格朗日乘数项，并研究它们的解析性质。我们提出了几种非等效的方法来找到最佳解以及表现出色的解析近似解。
（2）明确给出当添加先验信息到问题时，如何扩展本文算法进行最大后验估计或退化情况下正则化。
（3）在仿真和真实数据集上对比其他算法，表明本文算法寻找最优解的正确性。
算法流程
首先建立SE(3)与DQ( dual-quaternion)单元之间的连接，然后使用DQ表述手眼标定，并介绍最小化问题。然后讨论代价函数的性质并提出解决问题的算法。接下来，我们将公式扩展为包括一个先验项。
1. SE(3)的对偶四元数表示
常见的变换矩阵[R|T]可以表示如下式：
关于DQ的方程式总是可以分为两个方程式，一个方程式是用于表示纯四元数的“原始”部分，另一个方程式是用于四元数的“对偶”部分。
2.对偶四元数表述手眼标定问题
一般手眼标定问题可以列出一系列AX=XB的方程式：
式中C和H都是相对位姿变换矩阵，对偶四元数表示：
然后把四元数乘法表述成矩阵形式：
用A，B举证简化上式：
2.1 最小化问题
我们将最小化问题定义为（7）中两个方程的残差的平方L2范数的同时最小化，即：
然后通过（10）得到q'代入前一个公式，有：
由于第一个约束|q|^2=1能通过正则化解满足，然后第二个约束q.q‘=0意味着：
虽然我们可以轻松地将（12）作为给定 的特征值问题解，但通常无法满足（14）。另外把（14）代入（12）中会导致高度非线性的问题。
矩阵Z（ ）是实数，并且对于任何实数 是对称的，因此其特征值是实数。我们进一步注意到Z2是正半定的（因为它是A T A的倒数），所以Z0也是。考虑到这些性质，由于冯·诺伊曼-维格纳定理的结果，在我们改变μ时，（12）中的特征值曲线λi（μ）（按其值排序的四个根中的每个根）通常不应相交。求解的一种方法是利用（12）定义的实数代数曲线给出的拉格朗日乘数参数空间：
图2，拉格朗日乘数空间。
约束q( )·q'( )= 0决定了曲线λi( )上的哪些点与解相对应。我们得出结论，最小特征值极值必须对应于λ0( )的唯一最大值。还要注意，λ0(μ)可以写为一组凹函数的最小值，因此它本身就是凹的(或等效地，-λ0(μ)是凸的)。这意味着我们可以通过找到此函数的最大值并提取相应的q，q’来有效解决手眼校准问题。
2.2 最小化问题求解
Optimal 1D line search（DQOpt）
Two steps (DQ2steps)
Convex relaxation (DQCovRlx)
Second order approximation (DQ2ndOrd)
Iterative solution (DQItr)
2.3 添加先验
手眼标定问题并不总是很好解决，例如在平面运动情况下，自由度不是固定的，可能需要一个正则化得到唯一解。此外MAP概率估计需要先验。
主要结果
表1：上表：DQOpt和我们其他算法之间（有符号的）相对差异（在2450个实际数据运行中平均）的结果。正值表示对比算法具有较高的代价函数。下表：算法在24500个实际数据运行的平均时耗。
图3，仿真实验。通过显示当相对姿势受旋转和平移噪声增加时求解的误差响应，我们比较了Dan和DQOpt在三个不同运动上的误差。
表2，真实和仿真数据实验。
Abstract
We propose a least-squares formulation to the noisy hand-eye calibration problem using dual-quaternions, and introduce efficient algorithms to find the exact optimal solution,based on analytic properties of the problem, avoiding non-linear optimization. We further present simple analytic approximate solutions which provide remarkably good estimations compared to the exact solution. In addition, we show how to generalize our solution to account for a given extrinsic prior in the cost function. To the best of our knowledge our algorithm is the most efficient approach to optimally solve the hand-eye calibration problem.
如果你对本文感兴趣，想要下载完整文章进行阅读，可以关注【泡泡机器人SLAM】公众号。
